3.2 课后习题详解_胡寿松《自动控制原理》（第6版）笔记和课后习题（含考研真题）详解-QQ阅读男生历史网

书名：胡寿松《自动控制原理》（第6版）笔记和课后习题（含考研真题）详解
作者名：圣才电子书
本章字数：7246字
更新时间：2025-02-20 22:50:44

3.2　课后习题详解

3-1 设某高阶系统可用下列一阶微分方程近似描述：

试证明系统的动态性能指标为

证明：由微分方程可知系统传递函数为

当时，有

则

当（延迟时间）时，须有

解得

令（上升时间），其中

解得

则

当（调节时间）时，须有

解得

当取Δ＝0.02时，可得

3-2 设系统的微分方程式如下：

（1）；

（2）

试求系统的单位脉冲响和单位阶跃响应。（已知全部初始条件为零）

解：（1）零初始条件下，对方程两边作拉氏变换可得：

则系统传递函数为：

当时，系统的单位脉冲响应为

当时，系统的单位阶跃响应为

（2）零初始条件下，对方程两边进行拉氏变换可得

则系统传递函数为

对比典型二阶系统传函形式可得

得

当时，系统的单位脉冲响应为

当时，系统的单位阶跃响应为

3-3 已知各系统的脉冲响应，试求系统闭环传递函数：

（1）；

（2）；

（3）。

解：已知输入是单位脉冲信号，即，则系统的脉冲响应的拉氏变换即系统的闭环传递函数。

（1）

（2）

（3）

3-4 已知二阶系统的单位阶跃响应为

试求系统的超调量、峰值时间和调节时间。

解：二阶系统的单位阶跃响应为

由上式可知，该系统的放大系数为。

标准的二阶系统的单位阶跃响应为

代入公式得

得

由于，即该系统为欠阻尼二阶系统，因此，其动态性能指标为

超调量

峰值时间

调节时间

3-5 设单位反馈系统的开环传递函数为

试求系统在单位阶跃输入下的动态性能。

解：由题意可得，系统的开环传递函数为

系统闭环函数为

则该系统是比例-微分控制二阶系统，其标准形式为

由可得

根据

可得

因此，该系统的动态性能指标为：

峰值时间

超调量

调节时间

3-6 已知控制系统的单位阶跃响应为

试确定系统的阻尼比和自然频率。

解：系统的单位脉冲响应为

由、得传递函数：与

则系统的闭环传递函数为

故系统的自然频率和阻尼比为

3-7 设图3-2-1是简化的飞行控制系统结构图，试选择参数和，使系统的，。

图3-2-1　飞行控制系统

解：由题图可得系统的开环和闭环传递函数为

对比二阶系统的标准传递函数可知

解得

3-8 试分别求出图3-2-2各系统的自然频率和阻尼比，并列表比较其动态性能。

图3-2-2　控制系统

解：（1）图所示系统

将代入可得系统闭环传递函数为

又二阶系统的标准传递函数为

比较可得：，

即系统的自然频率，阻尼比，其二阶系统在阻尼时的单位阶跃响应为

因

取

而，故

对于等幅振荡的无阻尼系统，不存在，也没有意义。

（2）图所示系统

系统闭环传递函数为

该系统是比例-微分控制二阶系统，其标准形式为

由

可得

将代入得

则系统的动态性能指标为：

峰值时间

超调量

调节时间

（3）图所示系统

系统闭环传递函数为

系统的自然频率为，阻尼比，则系统的动态性能指标为：

超调量

峰值时间

调节时间（时，有）

则图3-2-2中各系统的动态性能如表3-2-1所示。

表3-2-1　各系统的动态性能

3-9 设控制系统如图3-2-3所示。要求：

（1）取，计算测速反馈校正系统的超调量、调节时间和速度误差；

（2）取，计算比例-微分校正系统的超调量、调节时间和速度误差。

图3-2-3　控制系统

解：求系统的动态性能指标。

（1）取时，系统有

整理得开环传递函数为

由得系统的闭环传递函数为

由开环传递函数可知，该系统是I型系统，其速度误差系数，系统的速度误差为

由闭环传递函数可知：

的系统的自然频率：

的系统的阻尼比：

因此，系统的动态性能指标为：

峰值时间

超调量

调节时间

（2）取时，系统的开环传递函数为

则系统的闭环传递函数为

由开环传递函数可知，该系统是I型系统，其速度误差系数为：，系统的速度误差为：

由闭环传递函数可知：

此时

因此，系统的动态性能指标为：

峰值时间

超调量

调节时间

3-10 图3-2-4所示控制系统有和两种不同的结构方案，其中不可变。要求：

（1）在这两种方案中，应如何调整，才能使系统获得较好的动态性能?

（2）比较说明两种结构方案的特点。

图3-2-4 控制系统

解：设，，则开环传递函数为

闭环传递函数为

方案测速反馈控制系统：

开环传递函数为

闭环传递函数为

方案比例-微分控制系统：

开环传递函数为

闭环传递函数为

则原系统、测速反馈控制系统与比例-微分控制系统均为I型系统，其静态速度误差系数分别为

（1）参数调整措施：

方案（a）引入速度反馈，可以增大系统的阻尼比，达到改善系统动态性能的目的。对的选择，要使阻尼比在0.4～0.8之间，从而满足给定的各项动态性能指标。但是，测速反馈会降低系统的开环增益，加大系统稳态误差，考虑加大原系统的开环增益。然而，增加又会导致阻尼比下降，超调量加大，应考虑增加。

方案（b）比例-微分控制可以增大系统的阻尼比，使超调量下降，调节时间缩短。由于采用微分控制后，允许选取较高的开环增益，可以减小稳态误差。然而，增加又会导致阻尼比下降，超调量加大，应考虑增加。

（2）比例-微分控制对系统的开环增益和自然频率均无影响，测速反馈控制会降低开环增益。对于给定的开环增益和指令输入速度，后者对应较大的稳态误差值。比例-微分控制对噪声有明显的放大作用。测速反馈控制对系统输入端噪声有滤波作用。

3-11 已知系统的特征方程为

试用劳斯稳定判据和赫尔维茨稳定判据确定系统的稳定性。

解：（1）用劳斯稳定判据确定系统的稳定性

列劳斯表如下

表中第一列元素的符号有两次改变，则该系统在右半平面有两个闭环极点，即该系统不稳定。

（2）用赫尔维茨稳定判据确定系统的稳定性

由特征方程可知n＝4，，，，，

若系统是稳定的，则需要满足3个条件：

①特征方程的各项系数为正；

②

③。

系统且，但，不满足条件③，因此系统不稳定。

3-12 已知系统的特征方程如下，试求系统在s右半平面的根数及虚根值。

（1）

（2）

（3）

解：（1）列劳斯表为

表中的第一列元素全部大于零，所以系统在右半平面无根。

由解辅助方程：，可得：

故系统有一对纯虚根为：。

（2）列劳斯表为

表中的第一列元素符号改变两次，则系统在右半平面有两个特征根。

由解辅助方程：，可得：，

故系统的一对虚根为：。

（3）列劳斯表为

表中的第一列元素全部大于零，则系统在右半平面无根。

解辅助方程：，可得：

故系统的一对虚根为：。

3-13 已知单位负反馈系统的开环传递函数为

试确定系统稳定时的值范围。

解：由题知系统特征方程为

列劳斯表如下

由劳斯稳定判据可得，使系统稳定的需满足如下条件

解上述方程组，可得

即当时，闭环系统是稳定的。

3-14 已知系统结构如图3-2-5所示。试用劳斯稳定判据确定能使系统稳定的反馈参数的取值范围。

图3-2-5　控制系统

解：由题图可得系统的闭环传递函数为

其特征方程为

列劳斯表如下

由劳斯判据可得，使系统稳定的满足以下条件

解不等式组，可得。

故系统稳定的反馈参数的取值范围为。

3-15 已知单位反馈系统的开环传递函数：

（1）

（2）

（3）

试求输入分别为和时，系统的稳态误差。

解：（1）由题意可知，系统特征方程为

由赫尔维茨判据可知，且各项系数为正，因此系统是稳定的。

由可知，系统是0型系统,且K＝20。

当系统输入为时，系统的稳态误差为：

（2）由题意可知，系统特征方程为

由赫尔维茨判据可知，，各项系数均为正，且，因此系统是稳定的。

由可知，系统是I型系统，且。

当系统输入为时，系统的稳态误差为：

（3）由题意可知，系统特征方程为

由赫尔维茨判据可知，，各项系数均为正，且

因此系统是稳定的。

用终值定理求解系统的稳态误差，有

当系统输入为时，有

当系统输入为时，，故

3-16 已知单位反馈系统的开环传递函数：

（1）；

（2）；

（3）。

试求位置误差系数、速度误差系数、加速度误差系数。

解：（1）根据静态误差系数的定义可得

（2）根据静态误差系数的定义可得

（3）根据静态误差系数的定义可得

3-17 设单位反馈系统的开环传递函数为。试用动态误差系数法求出当输入信号分别为和时，系统的稳态误差。

解：由题意可知，系统的误差传递函数为

所以有

故动态误差系数为

本系统为I型系统，有，其中K_v为静态速度误差系数。

当时，有；

当时，有

将上述各式代入的表达式，可得稳态误差为

3-18 设控制系统如图3-2-6所示，其中

输入以及扰动和均为单位阶跃函数。试求：

（1）在作用下系统的稳态误差；

（2）在作用下系统的稳态误差；

（3）在和同时作用下系统的稳态误差。

图3-2-6　控制系统

解：（1）误差传递函数为

则

由终值定理可得系统的稳态误差为

又

故

即在作用下系统的稳态误差为。

（2）在n₁（t）作用下系统的输出为

故n₁（t）引起的误差函数为

此时系统的稳态误差为

又

故

即在作用下系统的稳态误差为0。

（3）和分别作用下系统的误差函数为

故和同时作用引起的误差为

此时系统的稳态误差为

即在和同时作用下系统的稳态误差为0。

3-19 设闭环传递函数的一般形式为

误差定义取。试证：

（1）系统在阶跃信号输入下，稳态误差为零的充分条件是；

（2）系统在斜坡信号输入下，稳态误差为零的充分条件是。

证明：系统的误差传递函数为

（1）当时

由终值定理可得

因而充分条件得证。

（2）当时

由终值定理可得

因而充分条件得证。

3-20 设随动系统的微分方程为

其中，，和为正常数。若要求r（t）＝1＋t时，c（t）对r（t）的稳态误差不大于正常数，试问应满足什么条件?已知全部初始条件为零。

解：（1）对题中微分方程进行拉氏变换，有

则系统的结构图如图3-2-7所示。

图3-2-7　系统结构图

（2）由（1）中结构图可得闭环系统传递函数为

其闭环特征方程为

列劳斯表如下

在，和为正常数条件下，使闭环系统稳定的充要条件为

（3）定义系统的误差为E（s）＝R（s）－C（s），则

且，则由终值定理可得

令

得

结合使系统稳定的值取值范围可知，满足题意要求的值范围为

3-21 机器人应用反馈原理来控制每个关节的方向。由于负载的改变以及机械臂伸展位置的变化，负载对机器人会产生不同的影响。例如，机械爪抓持负载后，就可能使机器人产生偏差。已知机器人关节指向控制系统如图3-2-8所示，其中负载扰动力矩为1/s。要求：

（1）当时，确定对的影响，指出减少此种影响的方法；

（2）当，时，计算系统在输出端定义的稳态误差，指出减少此种稳态误差的方法。

图3-2-8　机器人关节指向控制系统

解：稳定性分析

闭环传递函数

其闭环特征方程

当参数，，，以及T均为正数时，闭环系统一定渐近稳定。

（1）当，时，闭环系统的输出

误差信号为

则扰动作用下的稳态误差

增大和，可以减小阶跃负载扰动对输出关节角位移的影响。

（2）当，时，系统的实际关节角输出

位于系统输入端的误差信号

由终值定理可得

表明在无负载扰动时，预期阶跃关节角输入不会在系统输入端产生稳态误差。

位于系统输出端的稳态误差

在无负载扰动情况下，预期阶跃关节角输出会在系统输出端产生稳态误差。若取反馈系数K₃＝1，则可使e_ssr（∞）＝0。

3-22 在造纸厂的卷纸过程中，卷开轴和卷进轴之间的纸张张力采用图3-2-9所示的卷纸张力控制系统进行控制，以保持张力F基本恒定。随着纸卷厚度的变化，纸上的张力F会发生变化，因此必须调整电机的转速。如果不对卷进电机的转速进行控制，则当纸张不断地从卷开轴向卷进轴运动时，线速度就会下降，从而纸张承受的张力F会相应减小。

在张力控制系统中，采用三个滑轮和一个弹簧组成的张力测量器，用来测量纸上的张力。记弹簧力为，其中是弹簧偏离平衡位置的距离，则张力可以表示为，其中F为张力增量的垂直分量。此外，假设线性偏差转换器、整流器和放大器合在一起后，可以表示为；电机的传递系数为，时间常数为，卷进轴的线速度在数值上是电机角速度的2倍，即。于是，电机运动方程为

式中，为张力扰动系数，为张力扰动增量。要求在所给的条件下完成：

（1）绘出张力控制系统结构图，其中应包含张力扰动和卷开轴速度扰动；

（2）当输入为单位阶跃扰动时，确定张力的稳态误差。

图3-2-9　卷纸张力控制系统

解：（1）系统结构图如图3-2-10所示。

图3-2-10　张力控制系统结构图

（2）该系统为二阶系统，只要系统中的各参数为正值，张力控制系统始终是稳定的。

令R（s）＝0，ΔF（s）＝0，则在作用下，系统的输出为

误差信号为

张力稳态误差为

减小K₁或增大K₂，可以减小卷开轴速度扰动产生的张力稳态误差。

3-23 现代船舶航向控制系统如图3-2-11所示。N（s）表示持续不断的风力扰动，已知，增益或。要求在下面所给的条件下，确定风力对船舶航向的稳态影响：

（1）假定方向舵的输入R（s）＝0，系统没有任何其他扰动，或其他调整措施；

（2）证明操纵方向舵能使航向偏离重新归零。

图3-2-11　船舶航向控制系统

解：（1）令，

在作用下，闭环航向偏离输出为

稳态输出为

当时，有；

当时，有。

（2）在Ｒ（s）及N（s）同时作用下，系统航向偏离输出

若选，可得航向偏离Ｃ（s）＝０。

3-24 设机器人常用的手爪如图3-2-12（a）所示，它由直流电机驱动，以改变两个手爪间的夹角θ。手爪控制系统模型如图3-2-12（b）所示，相应的控制系统结构如图3-2-12（c）所示。图中，，，，J＝0.1，f＝1要求：

（1）当功率放大器增益，输入为单位阶跃信号时，确定系统的单位阶跃响应；

（2）当，n（t）＝1（t）时，确定负载对系统的影响；

（3）当n（t）＝0，，t＞0时，确定系统的稳态误差。

图3-2-12　机器人手抓控制系统

解：（1）由题图知系统闭环传递函数为

对比典型二阶系统传递函数可得

则系统单位阶跃响应为

系统的动态性能为

（2）令，则

表明扰动输入幅值在输出端被削弱600倍。

（3）已知，故有

3-25 1984年2月7日，美国宇航员利用手持喷气推进装置，完成了人类历史上的首次太空行走，如图3-2-13（a）所示。宇航员机动控制系统结构图如图3-2-13（b）所示，其中喷气控制器可用增益表示，为速度反馈增益。若将宇航员以及他手臂上的装置一并考虑，系统总的转动惯量。要求：

（1）当输入为单位斜坡时，确定速度反馈增益的取值，使系统稳态误差。

（2）采用（1）中求得的，确定的取值，使系统超调量σ%≤10%。

图3-2-13　宇航员机动控制系统

解：（1）由题图可知，系统闭环传递函数

误差传递函数

稳态误差

因，故

由于要求，因此应有，取。

（2）对于，取ζ＝0.6，，则

即有

代入J＝25，ζ＝0.6，，可得

显然，必有

3-26 在喷气式战斗机的自动驾驶仪中，配置有横滚角控制系统，其结构图如图3-2-14所示。要求：

（1）确定闭环传递函数；

（2）当分别等于0.7，3.0和6.0时，确定闭环系统的特征根；

（3）在（2）所给的条件下，应用主导极点概念，确定各二阶近似系统，估计原有系统的超调量和峰值时间；

（4）绘出原有系统的实际单位阶跃响应曲线，并与（3）中的近似结果进行比较。

图3-2-14　滚转角控制系统

解：（1）闭环传递函数

（2）其特征方程

将0.7，3.0和6.0的分别代入特征方程，可以得到相应的特征根

①当，有，求得

②当，有，求得

③当，有，求得

（3）①当时，有

令

有

得

图3-2-15　飞机横滚系统单位阶跃响应曲线（，MATLAB）

②当，有

得

图3-2-16　飞机横滚系统单位阶跃响应曲线（，MATLAB）

③当，有

得

图3-2-17　飞机横滚系统单位阶跃响应曲线（，MATLAB）

（4）应用MATLAB软件包，画出各阶跃响应曲线，如图3-2-15～3-2-17所示。

3-27 打磨机器人能够按照预先设定的路径（输入指令）对加工后的工件进行打磨抛光。在实践中，机器人自身的偏差、机械加工误差以及工具的磨损等，都会导致打磨加工误差。若利用力反馈修正机器人的运动路径，可以消除这些误差，提高抛光精度。但是，这又可能使接触稳定性问题变得难以解决。例如，在引入腕力传感器构成力反馈的同时，就带来了新的稳定性问题。

打磨机器人的结构图如图3-2-18所示。若可调增益及均大于零，试确定能保证系统稳定性的和的取值范围。