3.2 成像模型

《墨经》在两千多年前记载了关于小孔成像的描述。公元1544年人们利用小孔成像原理观察日蚀现象，如图3-3。在投影变换中，透视投影被用来描述小孔成像模型和透镜成像模型。前面已经提到，相机成像模型描述相机从三维场景到二维像平面上的变换过程。相机成像模型一般可分为线性模型和非线性模型。线性模型可用针孔成像模型表示。当考虑到镜头畸变等因素时，相机成像模型为非线性。

假设在图像平面前的固定距离处有一个理想的小孔，如图3-4所示，并且，小孔周围是不透光的，那么只有经过小孔的光才能够到达像平面。光是沿着直线传播的，因此图像上的每一个点都对应一个方向，即从这个点出发穿过小孔。

3.2.1 线性模型

在大部分应用环境中，实际的相机可采用理想的小孔成像模型近似表示。小孔成像模型是各种相机模型中最简单的一种，它是相机的一个近似线性模型。在相机坐标系下，任一点P（X_w，Y_w，Z_w）在像平面的投影位置，也就是说，任一点的投影点P（X，Y）都是OP（即光心与点P（X_w，Y_w，Z_w）的连线）与像平面的交点，其几何关系如图3-5所示。

小孔成像模型的投影公式为

简写为

3.2.2 非线性模型

实际的成像过程中，由于相机镜头的加工误差、装备误差等原因会产生相机畸变，使成像点偏离原来应成像的位置，所以线性模型不能准确地描述相机的成像几何关系。非线性模型可用式（3-27）来描述。

式中，（x₀，y₀）是经过畸变的点，（x_d，y_d）是线性模型计算出来的图像点坐标理想值，δ_x（x，y）、δ_y（x，y）是非线性畸变，公式为

式中，k₁x（x²+y²）和k₂y（x²+y²）是径向畸变，p₁（3x²+y²）+2p₂xy和p₂（3x²+y²）+2p₁xy是离心畸变，s₁（x²+y²）和s₂（x²+y²）是薄棱镜畸变，k₁、k₂、p₁、p₂、s₁、s₂是畸变参数。

在相机标定过程中，通常不考虑离心畸变和薄棱镜畸变，因为对于引入的非线性畸变因素，往往需要使用附加的非线性算法对其进行优化，而大量研究表明，引入较多的非线性参数不仅对标定精度的提高作用不大，还会造成解的不稳定性，而且一般情况下只使用径向畸变就足以描述非线性畸变，则

式中，r为径向半径，。式（3-29）表明，相机畸变程度与r有关。r越大，证明畸变越严重，位于边缘的点偏离越大。

将式（3-29）代入式（3-25）可得

简写为