1.3　分层介质中波的传播速度

前一节知道，在无限均匀介质中只有P波和S波两种类型的弹性波传播。在介质中存在自由界面，或者在两种介质的分界面（可视为弹性半空间的情况），波动方程还可通过理论推导，获得方程的另一种形式的解，它相当于其运动局限于界面附近一个区域内的弹性波，称为表面波。表面波有瑞利波（1885年）和兰姆波（1904年）两种类型。

瑞利波简称R波（rayleigh wave），局限于自由半空间表面附近一个薄层内传播。瑞利波质点的振动是在介面法线和传播方向所构成的平面内作椭圆形轨迹运动，质点振动振幅在自由界面Z=0处最大，随深度的增加其能量迅速衰减，其探测深度为一个波长，其传播速度小于介质内部的P波和S波的传播速度。本节引述面波的一些重要结果。

瑞利波的传播速度vR，其大小与纵波和横波波速有关。将边界条件Z=0代入相关应力、应变关系和波动方程，经整理，可得到瑞利方程：

对式（1.35）有理化，得

已知，上式化简为

式（1.36）是关于的三次方程，其根与泊松比μ有关。对于接近完全弹性的岩石，泊松比μ=0.25，则有

该方程有三个根，分别是

可以证明，才能满足表面波存在的条件。于是瑞雷面波的传播速度为

对于0＜μ＜0.5的弹性材料，泊松比μ与的关系曲线如图1.6所示。

瑞利波的传播方向与质点运动轨迹之间的关系较为复杂。在岩体表面质点运动轨迹为长轴垂直于表面的椭圆，长短轴之比为1.468，离开岩体表面向内部深入，则长短轴之比减少至接近圆形，再下则成为长轴平行于表面的椭圆，如图1.7所示。

瑞利波能量分布在自由表面垂向两倍波长的薄层介质内，实际能观测到的是主要集中在一个波长的深度。瑞利波能量随深度很快衰减，且频率越高，能量衰减越快，平行表面方向上，其能量衰减与距离的一次方成反比。对于均质各向同性半空间，表面质点做竖向振动，根据1955年米勒和泊西计算，介质中传播的三种弹性波分别占总输入能量的百分比为：瑞利波为67%，剪切波为26%，压缩波为7%。

当半无限空间中的Z坐标（深度）减少到一定的厚度，如层厚b＜λ。兰姆根据上下两界面的边界条件，求解基本波动方程，获得四种类型的波群，其中，第一群和第二群为质点位移与厚度垂直方向的切变波群，第三群和第四群既有水平方向的位移，又有垂直于厚度方向（板延伸方向）位移的纵波与横波的复合群。板波对于研究板的纵向和弯曲振动中具有实际意义。当厚度很小时，兰姆求得0阶的板波速度：

L波和F波常统称为兰姆波，L可称为对称兰姆波，F称为反对称兰姆波。当板的厚度无限增大，即wb→∞，b≫λ，相当于半无限介质时，vL，vF都趋向于一个相同的数值vR，即瑞利波速度。