2.4.1 静止坐标系数学模型

类似于2.3.1节的推导方法，建立电动机的电感矩阵L如下：

其中，绕组自感L_ii（i=A～E）的推导过程见式（2-18）；同样的方法，也可以推导互感M_ij（i，j=A～E，且i≠j），以下以A，B相绕组之间的互感M_AB=M_BA表达式推导为例。假设考虑谐波因数，且B相绕组流过电流i_B，则在A相绕组中产生的耦合磁链ψ_A如下：

B相绕组对A相绕组产生的互感M_AB如下：

式中，ψ_dmn=F_φncosn（θ_r-2π/5）Nk_wn/R_sd，ψ_qmn=F_φnsinn（θ_r-2π/5）Nk_wn/R_sq分别为n次气隙主磁链在d轴、q轴上的分量；R_sd，R_sq分别为相绕组磁路直、交轴磁阻；N为相绕组匝数；k_wn为n次谐波绕组系数，F_φn为n次谐波磁动势。L_smn=0.5（L_dmn+L_qmn），L_rsn=0.5（L_dmn-L_qmn）。

将自感和互感表达式代入式（2-63）后，可以得到五相永磁同步电动机电感矩阵具体表达式如下：

式中，α=2π/5。本书主要考虑谐波次数为3的情况，则对应电动机电感矩阵进一步具体化为

式中，I₅为5×5的单位矩阵，L_DC1，L_AC1分别为基波平面气隙电感中的直流分量系数和时变分量系数；L_DC3，L_AC3分别为3次谐波平面气隙电感中的直流分量系数和时变分量系数。上述四个变量的具体表达式分别如下：

把基波平面上幅值为ψ_f1的永磁体磁链、3次谐波平面上幅值为ψ_f3的永磁体磁链分别向各自平面A～E轴线进行投影，然后对应轴线上的投影求和，即可得到A～E相绕组耦合的永磁体磁链ψ_Af～ψ_Ef分别如下：

根据式（2-72），进一步对时间求导数，即可推导出A～E相绕组中的反电动势如下：

根据电动机学中磁路耦合原理分析，定子各相绕组磁链等于自感磁链、他相对其产生的互感磁链及永磁体耦合磁链之和，而绕组电流产生的自感磁链及互感磁链可以用上述推导的电感与电流的乘积表示。所以，建立A～E相绕组磁链ψ_sA～ψ_sE的数学模型如下：

绕组电阻压降、绕组反电动势之和与绕组端电压u_sA～u_sE相平衡，从而建立绕组A～E电压平衡方程式如下：

为了推导电磁转矩表达式，需建立多相电动机的磁共能表达式。假设电动机磁路为线性磁路，则五相永磁同步电动机的磁共能W′_m如下：

式中，i_s=［i_sA i_sB i_sC i_sD i_sE］T，ψ_r=［ψ_Af ψ_Bf ψ_Cf ψ_Df ψ_Ef］T分别为定子电流及相绕组耦合永磁体磁链列矢量。式（2-76）两边对转子位置角的机械角求偏微分，得到电磁转矩T_e如下：

其中

根据式（2-77）～式（2-80）可见，反电动势中含有3次谐波后，电动机除了产生基波转矩外，还包括3次谐波转矩成分，使得该种电动机产生转矩更加灵活。同时，从以上数学模型建立过程及结果可见，由于反电动势含有谐波后使得自然坐标系中的数学模型更加复杂，因此如何进一步简化该数学模型，更加方便电动机瞬时转矩控制策略的构建，是实现该类型电动机高性能驱动控制的关键。

为此，采用坐标变换方法，把实际电动机模型映射到α₁β₁机电能量转换基波平面、α₃β₃机电能量转换3次谐波平面和z零序轴系上。根据2.2节多相交流电动机多平面分解坐标变换理论，构建五相自然坐标系变量向α₁β₁α₃β₃z的变换矩阵T₅，该变换同时遵循了变换前后系统功率不变原则。

式（2-74）两边同时左乘变换矩阵T₅，得到α₁β₁α₃β₃z轴系下的定子磁链表达式如下：

式中，变量在α₁β₁α₃β₃z轴上的分量用下角区分。

把式（2-66）电感矩阵L、变换矩阵T₅代入式（2-83）中，进一步推导得

式中，，分别为转子永磁磁链在α₁β₁轴上的投影；，分别为转子永磁磁链在α₃β₃轴上的投影。L_σ=L_sσI₅，L_sσ=L_sσ1+L_sσ3。

令i_s1=［i_sα1 i_sβ1］T，ψ_r1=［ψ_rα1 ψ_rβ1］T，i_s3=［i_sα3 i_sβ3］T，ψ_r3=［ψ_rα3 ψ_rβ3］T，则L_θr1、L_θr3分别如下：

式（2-84）可进一步简记为

式（2-75）两边同时左乘变换矩阵T₅，得到α₁β₁α₃β₃z轴系下的定子电压表达式如下：

考虑磁路线性的情况下，电动机的磁共能如下：

所以，电磁转矩如下：

从式（2-90）可见，反电动势含有3次谐波的五相对称绕组永磁同步电动机机电能量转换同时处于α₁β₁平面、α₃β₃平面上，电磁转矩是两个平面上的定子磁链矢量与定子电流矢量的叉乘之和；而由式（2-88）进一步可见，两个平面上的定子磁链与该平面上的定子电压和定子电流有关，若忽略定子电阻压降，则各平面上定子磁链直接由该平面定子电压控制。零序轴系不参与机电能量转换，其回路通过定子电阻和漏电感构成。