自动控制基础知识篇

第一章 控制系统的传递函数

第一节 拉氏变换

在动力装置的运行过程中，工况总是经常处于变动之中。控制系统是在变动中发挥调节作用的，此时整个系统和各个环节、各个信号都在变化。为了更准确地分析、了解和预测调节过程中出现的各种情况，必须研究整个系统的动态特性。自动控制系统的微分方程是在时域里描述系统动态性能的数学模型。对于低阶的微分方程，可以直接求解微分方程得到系统输出和输入之间的时域表达式。但对于高阶微分方程，在实数域内直接求解过于困难，甚至无法求解。因此，控制系统的数学模型还常常采用一种称为传递函数的复域函数来描述。为了把实数模型转换为复数模型，必须借助一种数学方法，即拉氏变换。

一、拉氏变换的定义

所谓拉氏变换是把时间函数变为复变量的函数。目的是通过函数变换，把复杂的微分方程变为简单的代数方程。然后把求得的复变函数的结果通过逆变换再变为时间函数，从而对系统进行直观的分析研究。

设有一实数函数f(t)(t≥0)，而且积分（s是一个复变量）在s的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数可写为

F(s)称为f(t)的拉氏变换或称为象函数，记为

F(s)=L[f(t)]

f(t)称为F(s)的拉氏逆变换或称为原函数，记为

f(t)=L-1[F(s)]

二、常用函数的拉氏变换

1.阶跃函数的拉氏变换

阶跃函数的数学表达式为

把f(t)代入式（1-1），得

对于单位阶跃函数1(t)，A=1，其拉氏变换函数为

2.线性函数的拉氏变换

线性函数的数学表达式为

把f(t)代入式（1-1），得

3.指数函数的拉氏变换

指数函数的数学表达式为

代入式（1-1），得

4.正弦函数的拉氏变换

正弦函数的数学表达式为

代入式（1-1），得

三、拉氏变换的性质

1.线性性质

若L[f₁(t)]=F₁(s)，L[f₂(t)]=F₂(s)，则

L[a₁f₁(t)+a₂f₂(t)]=a₁F₁(s)+a₂F₂(s)

式中，a₁、a₂为常数。

2.实位移性质

若F(s)=L[f(t)]，则有

3.复位移性质

若F(s)=L[f(t)]，则有

L[f(t)e-αt]=F(s+α)

4.微分性质

若F(s)=L[f(t)]，则有

当f(t)和它的各阶导数在初值t=0时都为零，则有

L[f(n)(t)]=snF(s)

5.积分性质

若F(s)=L[f(t)]，则有

若∫f(t)dt|_t=0=0，则

同理可得

6.初值定理

若F(s)=L[f(t)]，则有

7.终值定理

若F(s)=L[f(t)]，则有

四、拉氏反变换

若f(t)=L-1[F(s)]，则拉氏反变换的定义为

这是复变函数的积分，一般很难直接计算。在工程上，常可将象函数用部分分式展开法展开成简单分式，再求出F(s)的原函数f(t)。

象函数F(s)通常是复变量s的有理分式函数。即分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次。F(s)的一般式为

上式中，a₀、a₁、a₂…a_n和b₀、b₁、b₂…b_m均为实数，m、n均为正数，而且m<n。下面分两种情况，通过两个例子介绍如何求解拉氏反变换。

1.A(s)=0无重根

例1：求的拉氏反变换。

解：该函数可分解成部分分式，即

为了确定常数K₁，式（1-2）两边同时乘以（s+3），得到

将s=-3代入，消去式（1-3）右边的第二项，即可求得

K₁=-1

同理可求得

K₂=2

将K₁、K₂的值代入式（1-3），即可求出F(s)展开后的表达式

这样F(s)的原函数为

f(t)=-e-3t+2e-4t

2.A(s)=0有重根

例2：求的原函数f(t)。

解：将F(s)展成部分分式为

要确定K₁，将上式两边同时乘以（s+4）2，得到

将s=-4代入，即可求得常数K₁=-5。

为了确定常数K₂，需将式（1-4）的两边对s进行微分，而且令s=-4，即

求得K₂的最终值为K₂=7，常数K₃可求得为K₃=-7。

于是F(s)展开后的表达式为

这样可求得

f(t)=-5te-4t+7e-4t-7e-5t