1.3 可靠性分布模型检验方法

可靠性建模另一类重要的问题就是对拟合的分布函数进行统计假设检验和拟合优度检验。在统计学中，关于这两类问题的检验方法有很多且其适用性各不相同，本节引入几种适用性较好的检验方法。

1.3.1 统计假设检验

统计假设检验用于探讨观测数据与拟合分布之间偏差的统计显著性，其方法一般分为通用检验（如Kolmogorov-Smirnov检验）和专一检验（如Mann检验），通用检验适合多种分布模型，专一检验只针对特定分布模型。

1.Kolmogorov-Smirnov（K-S）检验

相较于其他通用检验（主要是χ2检验），K-S检验的功效较强且不受样本容量的影响，特别适用于小样本的假设检验，其基本检验原理如下：

（1）将样本按总体秩次进行排列：t₁≤t₂≤t₃≤…≤t_n。

（2）计算经验分布函数F_n（t）：

（3）建立原假设：H₀：F（t）=F₀（t），H₁：F（t）≠F₀（t）。其中F₀（t）为指定的分布模型。

（4）检验统计量D_n：

式中，F_n（t_i）为经验分布函数，F（t_i）为拟合分布函数。

（5）在给定的显著水平α和样本容量n下，通过查表得到临界值D_n,α。当D_n≤D_n,α时，接受假设H₀；否则接受假设H₁。

2.Mann检验

Mann检验是一种专门用于Weibull分布的检验方法，假设：

• H₀：拟合分布函数服从Weibull分布。

• H₁：拟合分布函数不服从Weibull分布。

检验统计量M为

式中，

式中，表示取x的整数部分，M_i为近似值。给定显著水平α，临界值为渐进服从自由度2k₁、2k₂的F_α（2k₁，2k₂）分布。若M＜F_α（2k₁，2k₂），则接受假设H₀；否则接受假设H₁。

1.3.2 拟合优度检验

拟合优度检验用于分析样本与假设分布间的拟合程度，不同的拟合优度检验方法（简称优检方法）的效力也不相同，本节引入以下几种适用性较好的优检方法。

1.灰色关联度分析法

灰色关联度分析法是通过因素的时间序列曲线发展态势的相似程度来计算关联度的。与其他优检方法相比，该方法有如下优点：不依赖大样本数据；不需要数据有典型分布；是数据间发展态势的比较，检验效果较好。

具体过程如下：

对于时间区间[a，b]，b＞a≥0，令Δt_k=t_k-t_k-1，Δt_k＞0（k=2，3，…，n）；[a，b]=∪Δt_k，Δt_k∩Δt_k-1=∅（k=3，4，…，n）。则两序列在[a，b]各点上的取值为

式中，X₁、X₂是相同指标在各点的值。

（1）标准化：

（2）计算增量序列：

（3）计算各时段关联系数：

结合T型关联度，引入符号函数sgn（·），表示X₁、X₂间的正负相关性，即

式中，。

（4）计算两序列间的关联度r（X₁，X₂）：

r（X₁，X₂）的值越大，表明两序列间的变化态势越相似，即对应的该分布函数拟合程度越好。

2.误差面积比指数法

假设有两种分布曲线关系如图1-8所示，用表示拟合分布函数，Y表示样本经验分布函数F（t），则有：

式中，e（t）为偏差函数。

当接受原有的统计假设检验时，e（t）就有了明确的界限。e（t）与横轴所围成的面积S_e越小，与Y之间的偏差就越小，那么就可以用近似代替F（t）。S_e的计算公式为

式中，n为分割区间的个数。

又令S表示与横轴围成的面积，S的计算公式为

考虑到S_e的属性，将面积比S_e/S作为拟合优度的判据，故误差面积比指数R的最终计算公式为

从推导过程可知，R的值越小，分布函数拟合程度越好。这种方法不仅从整体上考虑了拟合误差，还兼顾了各数据点上的相对误差。

3.方根误差分析法

一组数据中的特大或特小误差可以由方根误差灵敏地反映出来，因此，均方根误差（RMSE）和相对均方根误差（NRMSE）常用来定量评价不同方法对同一组数据的拟合精度。RMSE、NRMSE分别定义如下：

式中，F_n（t_i）为经验分布函数；F（t_i）为拟合分布函数；n为数据个数。

由式（1-67）和式（1-68）可知，模型拟合程度越好，RMSE和NRMSE的值越小。